(2017년 시행) 2018학년도 수능 (가형) 21번 풀이

양수 t 에 대하여 구간 [1,\:\infty) 에서 정의된 함수 f(x) 가 f(x)=\begin{cases}\ln x&(1 \le x < e)\\-t+\ln x&(x \ge e)\end{cases} 일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 g(x) 중에서 직선 y=g(x) 의 기울기의 최솟값을 h(t) 라 하자. 1 이상의 모든 실수 x 에 대하여 (x-e)\{g(x) - f(x)\} \ge 0 이다. 미분가능한 함수 h(t) 에 대하여 양수 a 가 h(a)=\dfrac{1}{e+2} 을 만족시킨다. h^{\prime}\left(\dfrac{1}{2e}\right)\times h^{\prime}(a) 의 값은? ① \dfrac{1}{(e+1)^{2}} ② \dfrac{1}{e(e+1)} ③ \dfrac{1}{e^{2}} ④ \dfrac{1}{(e-1) (e+1)} ⑤ \dfrac{1}{e(e-1)}