(2017년 시행) 2018학년도 수능 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 1 인 정삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 있다. 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 의 중점을 \text{D}_{1} 이라 하고, 선분 \text{B}_{1}\text{C}_{1} 위의 \overline{\text{C}_{1}\text{D}_{1}}=\overline{\text{C}_{1}\text{B}_{2}} 인 점 \text{B}_{2} 에 대하여 중심이 \text{C}_{1} 인 부채꼴 \text{C}_{1}\text{D}_{1}\text{B}_{2} 를 그린다. 점 \text{B}_{2} 에서 선분 \text{C}_{1}\text{D}_{1} 에 내린 수선의 발을 \text{A}_{2} , 선분 \text{C}_{1}\text{B}_{2} 의 중점을 \text{C}_{2} 라 하자. 두 선분 \text{B}_{1}\text{B}_{2} , \text{B}_{1}\text{D}_{1} 과 호 \text{D}_{1}\text{B}_{2} 로 둘러싸인 영역과 삼각형 \text{C}_{1}\text{A}_{2}\text{C}_{2} 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 의 중점을 \text{D}_{2} 라 하고, 선분 \text{B}_{2}\text{C}_{2} 위의 \overline{\text{C}_{2}\text{D}_{2}}=\overline{\text{C}_{2}\text{B}_{3}} 인 점 \text{B}_{3} 에 대하여 중심이 \text{C}_{2} 인 부채꼴 \text{C}_{2}\text{D}_{2}\text{B}_{3} 을 그린다. 점 \text{B}_{3} 에서 선분 \text{C}_{2}\text{D}_{2} 에 내린 수선의 발을 \text{A}_{3} , 선분 \text{C}_{2}\text{B}_{3} 의 중점을 \text{C}_{3} 이라 하자. 두 선분 \text{B}_{2}\text{B}_{3} , \text{B}_{2}\text{D}_{2} 와 호 \text{D}_{2}\text{B}_{3} 으로 둘러싸인 영역과 삼각형 \text{C}_{2}\text{A}_{3}\text{C}_{3} 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty }S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{11\sqrt{3}-4\pi}{56} ② \dfrac{11\sqrt{3}-4\pi}{52} ③ \dfrac{11\sqrt{3}-6\pi}{56} ④ \dfrac{15\sqrt{3}-6\pi}{52} ⑤ \dfrac{15\sqrt{3}-4\pi}{52}