(2017년 시행) 2018학년도 수능 (나형) 29번 풀이

두 실수 a 와 k 에 대하여 두 함수 f(x) 와 g(x) 는 f(x)=\begin{cases}0&(x \le a)\\(x-1)^{2}(2x+1)&(x > a)\end{cases} , g(x)=\begin{cases}0&(x \le k)\\12(x-k)&(x > k)\end{cases} 이고, 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 f(x) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) 모든 실수 x 에 대하여 f(x) \ge g(x) 이다. k 의 최솟값이 \dfrac{q}{p} 일 때, a+p+q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:p\text{와}\:q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right)