(2017년 시행) 2018학년도 수능 (나형) 30번 풀이

이차함수 f(x)=\dfrac{3x-x^{2}}{2} 에 대하여 구간 [0, \:\infty) 에서 정의된 함수 g(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 0 \le x < 1 일 때, g(x)=f(x) 이다. (나) n \le x < n+1 일 때, g(x)=\dfrac{1}{2^{n}}\{f(x-n) - (x-n)\}+x 이다. \left(\text{단},n\text{는 자연수이다.}\right) 어떤 자연수 k\:(k \ge 6) 에 대하여 함수 h(x) 는 h(x)=\begin{cases}g(x)&(0 \le x < 5\:\text{또는}\: x \ge k) \\2x-g(x)&(5 \le x < k)\end{cases} 이다. 수열 \left\{a_{n}\right\} 을 a_{n}=\displaystyle\int _{0}^{n}h(x)dx 라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}\left(2a_{n}-n^{2}\right)=\dfrac{241}{768} 이다. k 의 값을 구하시오.