2018년 고2 3월 모의고사 (가형) 17번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+n\} \\&=\dfrac{n(n+1) (n+2) (3n+1)}{24} \quad\cdots\cdots(\ast) \end{aligned} 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (ⅰ) n=1 일 때, (\text{좌변})=(\text{우변})=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이므로 (\ast ) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, (\ast ) 이 성립한다고 가정하면 \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k\{k+(k+1)+(k+2)+ \cdots+m\} \\&=\dfrac{m(m+1) (m+2) (3m+1)}{24} \end{aligned} 이다. n=m+1 일 때, (\ast ) 이 성립함을 보이자. \begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(m+1)\} \\&=\sum_{k=1}^{m} k\{k+(k+1)+(k+2) \\& \quad+\cdots+(m+1)\}+\fbox{\quad\text{(나)}\quad} \\&=\fbox{\quad\text{(다)}\quad}+\dfrac{m(m+1)^{2}}{2}+\fbox{\quad\text{(나)}\quad} \\&=\dfrac{(m+1) (m+2) (m+3) (3m+4)}{24}\end{aligned} 따라서 n=m+1 일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast ) 이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 a , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, a+f(2)+g(3) 의 값은? ① 35 ② 36 ③ 37 ④ 38 ⑤ 39