2018년 고2 3월 모의고사 (나형) 18번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+n\} \\& = \dfrac{n(n+1)(n+2)(3 n+1)}{24}\quad\cdots\cdots(\ast)\end{aligned} 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (ⅰ) n=1 일 때, (\text{좌변})=1 , (\text{우변})=1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{m} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+m\} \\ & =\dfrac{m(m+1)(m+2)(3 m+1)}{24} \end{aligned} 이다. n=m+1 일 때, (\ast) 이 성립함을 보이자. \begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+m+(m+1)\} \\&=\sum_{k=1}^{m} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots \\& \qquad\qquad +m+(m+1)\}+\fbox{\text{(가)}} \\&=\sum_{k=1}^{m} k\{k+(k+1)+(k+2)+\cdots+m\} \\& \qquad\qquad +\fbox{\text{(나)}}+\fbox{\text{(가)}} \\& =\dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)(3 m+4)}{24} \end{aligned} 따라서 n=m+1 일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, f(4)+g(2) 의 값은? ① 34 ② 36 ③ 38 ④ 40 ⑤ 42