2018년 고3 3월 모의고사 (가형) 18번 풀이

다음은 부등식 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ 2k \times \left( \\_{n}C_{k}\right) ^ { 2 } \right\} \ge 10 \times\\_{2n}C_{n+1} 을 만족시키는 자연수 n 의 최솟값을 구하는 과정이다. ( 1 + x ) ^ { 2n } 의 전개식에서 x ^ { n } 의 계수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. ( 1 + x ) ^ { n } ( 1 + x ) ^ { n } 의 전개식에서 x ^ { n } 의 계수는 \displaystyle\sum _{ k = 0 } ^ { n } \left( \\_{n}C_{k}\times\\_{n}C_{n-k}\right) = \displaystyle\sum _{ k = 0 } ^ { n } \left( \\_{n}C_{k} \right) ^ { 2 } 이다. 그러므로 \begin{aligned}&\displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ 2k \times \left( \\_{n}C_{k} \right) ^ { 2 } \right\} \\& = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ k \times \left( \\_{n}C_{k}\right) ^ { 2 } \right\} + \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ k \times \left( \\_{n}C_{n-k} \right) ^ { 2 } \right\} \\& = \left\{ \left( \\_{n}C_{1} \right) ^ { 2 } + 2 \times \left( \\_{n}C_{2} \right) ^ { 2 } + \cdots + n \times \left( \\_{n}C_{n} \right) ^ { 2 } \right\} \\&+ \left\{ \left( \\_{n}C_{n-1}\right) ^ { 2 } + 2 \times \left( \\_{n}C_{n-2}\right) ^ { 2 } + \cdots + n \times \left( \\_{n}C_{0} \right) ^ { 2 } \right\} \\& = \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\times \left\{ \left( \\_{n}C_{0} \right) ^ { 2 } + \left( \\_{n}C_{1} \right) ^ { 2 } + \cdots + \left( \\_{n}C_{n} \right) ^ { 2 } \right\} \\& = \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\times \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \end{aligned} 이다. 따라서 부등식 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \left\{ 2k \times \left( \\_{n}C_{k} \right) ^ { 2 } \right\} \ge 10 \times { } _{ 2n } C _{ n + 1 } 을 만족시키는 자연수 n 의 최솟값은 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f ( 3 ) + g ( 3 ) + p 의 값은? ① 32 ② 34 ③ 36 ④ 38 ⑤ 40