2018년 고3 3월 모의고사 (나형) 18번 풀이

좌표평면에서 자연수 n 에 대하여 곡선 y=(x-2n)^{2} 이 x 축, y 축과 만나는 점을 각각 \text{P}_{n} , \text{Q}_{n} 이라 하자. 두 점 \text{P}_{n} , \text{Q}_{n} 을 지나는 직선과 곡선 y=(x-2n)^{2} 으로 둘러싸인 영역(경계선 포함)에 속하고 x 좌표와 y 좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 a_{n} 이라 하자. 다음은 \lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{a_{n}}{n^{3}} 의 값을 구하는 과정이다. contenthub figure 두 점 \text{P}_{n} , \text{Q}_{n} 을 지나는 직선의 방정식은 y=\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times x+4n^{2} 이다. 주어진 영역에 속하는 점 중에서 x 좌표가 k \: (k\text{는} 2n-1\text{이하의 자연수}) 이고 y 좌표가 자연수인 점의 개수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad}+2nk 이므로 a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1}\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad} +2nk\right) 이다. 따라서 \lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{a_{n}}{n^{3}}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. contenthub figure 두 점 \text{P}_{n} , \text{Q}_{n} 을 지나는 직선의 방정식은 y=\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times x+4n^{2} 이다. 주어진 영역에 속하는 점 중에서 x 좌표가 k \: (k\text{는} 2n-1\text{이하의 자연수}) 이고 y 좌표가 자연수인 점의 개수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad}+2nk 이므로 a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1}\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad} +2nk\right) 이다. 따라서 \lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{a_{n}}{n^{3}}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. </box>위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(k) 라 하고, (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, p\times f(3)\times g(4) 의 값은? ① 100 ② 105 ③ 110 ④ 115 ⑤ 120