2018년 고3 3월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 \overline { \text{A }_{ 1 } \text{B} _{ 1 } } = 2 , \overline { \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } } = 3 인 직사각형 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } C _{ 1 } \text{D} _{ 1 } 이 있다. 선분 \text{A} _{ 1 } \text{D} _{ 1 } 을 삼등분하는 점 중에서 \text{A}_{1} 에 가까운 점부터 차례대로 \text{E}_{1} , \text{F}_{1} 이라 하고, 선분 \text{B} _{ 1 } \text{F} _{ 1 } 과 선분 \text{C} _{ 1 } \text{E} _{ 1 } 의 교점을 \text{G}_{1} 이라 하자. 삼각형 \text{B} _{ 1 } \text{G} _{ 1 } \text{E} _{ 1 } 과 삼각형 \text{C} _{ 1 } \text{F} _{ 1 } \text{G} _{ 1 } 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 위에 두 꼭짓점 \text{B} _{ 2 } , \text{C} _{ 2 } 가 있고, 선분 \text{B} _{ 1 } \text{G} _{ 1 } 위에 꼭짓점 \text{A} _{ 2 } , 선분 \text{C} _{ 1 } \text{G} _{ 1 } 위에 꼭짓점 \text{D} _{ 2 } 가 있으며 \overline { \text{A} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } } : \overline { \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } } = 2 : 3 인 직사각형 \text{A} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } \text{D} _{ 2 } 를 그린다. 선분 \text{A} _{ 2 } \text{D} _{ 2 } 를 삼등분하는 점 중에서 \text{A}_{2} 에 가까운 점부터 차례대로 \text{E}_{2} , \text{F} _{ 2 } 라 하고, 선분 \text{B} _{ 2 } \text{F} _{ 2 } 와 선분 \text{C} _{ 2 } \text{E} _{ 2 } 의 교점을 \text{G} _{ 2 } 라 하자. 삼각형 \text{B} _{ 2 } \text{G} _{ 2 } \text{E} _{ 2 } 와 삼각형 \text{C} _{ 2 } \text{F} _{ 2 } \text{G} _{ 2 } 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{ n \to \infty } S _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 141 } { 80 } ② \dfrac { 143 } { 80 } ③ \dfrac { 29 } { 16 } ④ \dfrac { 147 } { 80 } ⑤ \dfrac { 149 } { 80 }