2018년 고3 4월 모의고사 (가형) 19번 풀이

다음은 1 부터 n 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 n 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 세 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다. \left(\text{단}, \:n \ge 5\right) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우는 '(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우'에서 '(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우'와 '(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우'를 제외하면 된다. (ⅰ)의 경우 : n 개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우의 수는 \\_{n}\text{C}_{3} 이다. (ⅱ)의 경우 : 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우의 수는 (n-2) 이다. (ⅲ)의 경우 : 연속되는 두 수 중 하나가 1 인 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이고, 마찬가지로 연속되는 두 수 중 하나가 n 인 경우의 수도 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 또한 연속되는 두 수 중 어느 하나도 1 과 n 이 아닌 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는 2\times\left(\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\right)+\boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 n 개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 p(n) , q(n) , r(n) 이라 할 때, \dfrac{p(18)\times q(17)}{r(16)} 의 값은? ① \dfrac{15}{2} ② 9 ③ \dfrac{21}{2} ④ 12 ⑤ \dfrac{27}{2}