2018년 고3 4월 모의고사 (가형) 30번 풀이

함수 f(x)=e^{x}\left(ax^{3}+bx^{2}\right) 과 양의 실수 t 에 대하여 닫힌 구간 [ -t ,\: t] 에서 함수 f(x) 의 최댓값을 M(t) , 최솟값을 m(t) 라 할 때, 두 함수 M(t) , m(t) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 t 에 대하여 M(t)=f(t) 이다. (나) 양수 k 에 대하여 닫힌 구간 [ k ,\: k+2] 에 있는 임의의 실수 t 에 대해서만 m(t)=f(-t) 가 성립한다. (다) \displaystyle\int _{1}^{5}\left\{e^{t}\times m(t)\right\}dt=\dfrac{7}{3}-8e f(k+1)=\dfrac{q}{p}e^{k+1} 일 때, p+q 의 값을 구하시오. \biggl(\text{단}, \:a\text{와}\: b\text{는} \:0\text{이 아닌 상수},\: p\text{와} \:q\text{는 서로소인} \\\left.\text{자연수이고}, \:\lim\limits _{x\to \infty}\dfrac{x^{3}}{e^{x}}=0\text{이다}.\right)