2018년 고3 4월 모의고사 (나형) 18번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 2 인 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D} 가 있다. 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D} 의 두 대각선의 교점을 \text{B}_{2} 라 하고, 점 \text{B}_{2} 에서 두 변 \text{A}_{1}\text{D} , \text{C}_{1}\text{D} 에 내린 수선의 발을 각각 \text{A}_{2} , \text{C}_{2} 라 하자. 점 \text{B}_{2} 를 지나고 두 변 \text{A}_{1}\text{B}_{1} , \text{B}_{1}\text{C}_{1} 에 동시에 접하는 원을 O_{1} 이라 하고, 원 O_{1} 이 두 변 \text{A}_{1}\text{B}_{1} , \text{B}_{1}\text{C}_{1} 에 접하는 점을 각각 \text{P}_{1} , \text{Q}_{1} 이라 할 때, 삼각형 \text{B}_{2}\text{P}_{1}\text{Q}_{1} 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 정사각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D} 의 두 대각선의 교점을 \text{B}_{3} 이라 하고, 점 \text{B}_{3} 에서 두 변 \text{A}_{2}\text{D} , \text{C}_{2}\text{D} 에 내린 수선의 발을 각각 \text{A}_{3} , \text{C}_{3} 이라 하자. 점 \text{B}_{3} 을 지나고 두 변 \text{A}_{2}\text{B}_{2} , \text{B}_{2}\text{C}_{2} 에 동시에 접하는 원을 O_{2} 라 하고, 원 O_{2} 가 두 변 \text{A}_{2}\text{B}_{2} , \text{B}_{2}\text{C}_{2} 에 접하는 점을 각각 \text{P}_{2} , \text{Q}_{2} 라 할 때, 삼각형 \text{B}_{3}\text{P}_{2}\text{Q}_{2} 의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{x\to\infty}{S_{n}} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{4\sqrt{2}-4}{3} ② \dfrac{4\sqrt{3}-5}{3} ③ 8\sqrt{3}-8 ④ \dfrac{4\sqrt{2}-3}{4} ⑤ \dfrac{5\sqrt{2}-3}{6}