2018년 고3 4월 모의고사 (나형) 29번 풀이

전체집합 U=\left\{x\middle|x\text{는}\:10\:\text{이하의 자연수}\right\} 의 세 부분집합 S_{1} , S_{2} , S_{3} 이 n\left(S_{1}\right) \ge 3 , S_{1}\subset S_{2}\subset S_{3} 을 만족시킨다. 다음은 집합 S_{1} , S_{2} , S_{3} 의 모든 순서쌍 \left(S_{1},\:S_{2},\:S_{3}\right) 의 개수를 구하는 과정이다. n\left(S_{1}\right)=k\:(3 \le k \le 10,\:k\text{는 자연수}) 인 집합 S_{1} 의 개수는 전체집합 U 의 원소 10 개 중 서로 다른 k 개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 _{10}\text{C}_{k} 이다. 또한 S_{1}\subset S_{2}\subset S_{3} 이므로 집합 S_{1} 에 속하지 않는 원소는 세 집합 S_{2}-S_{1} , S_{3}-S_{2} , U-S_{3} 중 어느 한 집합에 속해야 한다. 그러므로 n\left(S_{1}\right)=k 일 때 집합 S_{1} , S_{2} , S_{3} 의 순서쌍 \left(S_{1},\:S_{2},\:S_{3}\right) 의 개수는 _{10}\text{C}_{k}\times\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 따라서 n\left(S_{1}\right) \ge 3 , S_{1}\subset S_{2}\subset S_{3} 을 만족시키는 순서쌍 \left(S_{1},\:S_{2},\:S_{3}\right) 의 개수는 이항정리에 의하여 \displaystyle\sum_{k=3}^{10}\left(\\_{10}\text{C}_{k}\times \fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)=4^{10}-\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\times3^{8} 위의 (가)에 알맞은 식을 f(k) , (나)에 알맞은 수를 a 라 할 때, a+f(8) 의 값을 구하시오.