2018년 고3 4월 모의고사 (나형) 30번 풀이

두 실수 a , b 에 대하여 정의역이 \left\{x\middle | x \ge 0\right\} 인 함수 f(x)=\dfrac{-ax-b+1}{ax+b}\:(ab > 0) 이 있다. 실수 k 에 대하여 정의역이 \left\{x\middle | x \ge 0\right\} 인 함수 g(x)=\begin{cases}2k-f(x)&(f(x) < k)\\f(x)&(f(x) \ge k)\end{cases} 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \lim\limits_{x\to\infty}|g(x)|=\dfrac{1}{2} (나) |g(0)|=1 (다) 함수 y=|g(x) | 의 그래프와 직선 y=-k 는 두 점 \left(\dfrac{1}{28},\:-k\right) , (\alpha,\:-k) 에서만 만난다. \left(\text{단, }\alpha > \dfrac{1}{28}\right) 직선 y=m(x-4\alpha)+\dfrac{3}{4} 이 함수 y=|g(x)| 의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 h(m) 이라 할 때, 함수 h(m) 이 불연속이 되는 모든 실수 m 의 값의 합은 M 이다. 252M 의 값을 구하시오.