2018년 고2 6월 모의고사 (가형) 17번 풀이

a_{1}=1 , a_{2}=-1 , a_{3}=4 인 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 n(n-2)a_{n+1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i} 를 만족시킨다. 다음은 a_{n}\dfrac{8}{(n-1) (n-2)}\: (n > 3) 임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (ⅰ) n=3 일 때, a_{3}=4=\dfrac{8}{(3-1) (3-2)} 이므로 성립한다. (ⅱ) n=k\:(k > 3) 일 때, 성립한다고 가정하면 a_{k}=\dfrac{8}{(k-1) (-2)} 이다. \begin{aligned} k(k-2)a_{k+1}&=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{k}a_{i}=a_{k}+\sum_{i=1}^{k-1}a_{i}\\&= a_{k}+(k-1)(k-3)a_{k}\\&=a_{k}\times\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\\&=\dfrac{8}{(k-1)(k-2)}\times\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\\&=\dfrac{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{k-1}\end{aligned} 이다. 그러므로 a_{k+1}=\dfrac{1}{k(k-2)}\times\dfrac{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{k-1}=\dfrac{8}{\fbox{\quad\text{( 다)}\quad}} 이다. 따라서 n=k+1 일 때 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 n > 3 인 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n}=\dfrac{8}{(n-1) (n-2)} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(x) , h(k) 라 할 때, f(13)\times g(14) 의 값은? ① 88 ② 96 ③ 104 ④ 112 ⑤ 120