2018년 고2 6월 모의고사 (가형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정육각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1}\text{E}_{1}\text{F}_{1} 이 있다. 선분 \text{A}_{1}\text{C}_{1} 과 선분 \text{B}_{1}\text{F}_{1} 의 교점을 \text{G}_{1} , 선분 \text{C}_{1}\text{E}_{1} 과 선분 \text{D}_{1}\text{F}_{1} 의 교점을 \text{H}_{1} 이라 하고, 선분 \text{B}_{1}\text{F}_{1} 과 선분 \text{A}_{1}\text{C}_{1} 의 중점을 각각 \text{A}_{2} , \text{B}_{2} 라 하자. 사각형 \text{F}_{1}\text{G}_{1}\text{C}_{1}\text{H}_{1} 의 내부에 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 를 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을 \text{C}_{2} , \text{D}_{2} , \text{E}_{2} , \text{F}_{2} 라 하자. 사각형 \text{F}_{1}\text{G}_{1}\text{C}_{1}\text{H}_{1} 의 내부와 정육각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}\text{E}_{2}\text{F}_{2} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{A}_{2}\text{C}_{2} 와 선분 \text{B}_{2}\text{F}_{2} 의 교점을 \text{G}_{2} , 선분 \text{C}_{2}\text{E}_{2} 와 선분 \text{D}_{2}\text{F}_{2} 의 교점을 \text{H}_{2} 라 하고, 선분 \text{B}_{2}\text{F}_{2} 와 선분 \text{A}_{2}\text{C}_{2} 의 중점을 각각 \text{A}_{3} , \text{B}_{3} 이라 하자. 사각형 \text{F}_{2}\text{G}_{2}\text{C}_{2}\text{H}_{2} 의 내부에 선분 \text{A}_{3}\text{B}_{3} 을 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을 \text{C}_{3} , \text{D}_{3} , \text{E}_{3} , \text{F}_{3} 이라 하자. 사각형 \text{F}_{2}\text{G}_{2}\text{C}_{2}\text{H}_{2} 의 내부와 정육각형 \text{A}_{3}\text{B}_{3}\text{C}_{3}\text{D}_{3}\text{E}_{3}\text{F}_{3} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}{S_{n}} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{53}{9}\sqrt{3} ② \dfrac{56}{9}\sqrt{3} ③ \dfrac{59}{9}\sqrt{3} ④ \dfrac{62}{9}\sqrt{3} ⑤ \dfrac{65}{9}\sqrt{3}