2018년 고2 6월 모의고사 (나형) 18번 풀이

a_{1}=1 , a_{2}=-1, a_{3}=4 인 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 n(n-2) a_{n+1}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} 를 만족시킨다. 다음은 a_{n}=\dfrac{8}{(n-1)(n-2)} \:(n \ge 3) 임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (ⅰ) n=3 일 때, a_{3}=4=\dfrac{8}{(3-1)(3-2)} 이므로 성립한다. (ⅱ) n=k\:(k \ge 3) 일 때, 성립한다고 가정하면 a_{k}=\dfrac{8}{(k-1)(k-2)} 이다. \begin{aligned} k(k-2) a_{k+1} & =\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k}+ \sum_{i=1}^{k-1} a_{i} \\ & =a_{k}+(k-1)(k-3) a_{k} \\ & =a_{k} \times\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\\ & =\dfrac{8}{(k-1)(k-2)} \times\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\\ & =\dfrac{\boxed{\quad\text{(나)}\quad}}{k-1} \end{aligned} 이다. 그러므로 a_{k+1}=\dfrac{1}{k(k-2)} \times \dfrac{\boxed{\quad\text{(나)}\quad}}{k-1}=\dfrac{8}{\boxed{\quad\text{(다)}\quad}} 이다. 따라서 n=k+1 일 때 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 n \ge 3 인 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n}=\dfrac{8}{(n-1)(n-2)} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(k) , h(k) 라 할 때, \dfrac{f(13) \times g(14)}{h(12)} 의 값은? ① 88 ② 96 ③ 104 ④ 112 ⑤ 120