(2018년 시행) 2019학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (가형) 20번 풀이

자연수 n 에 대하여 2a+2b+c+d=2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 (a ,\: b ,\: c ,\: d) 의 개수를 a_{n} 이라 하자. 다음은 \displaystyle\sum_{n=1}^{8}a_{n} 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 a , b , c , d 가 2a+2b+c+d=2n 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 k 에 대하여 c+d=2k 이어야 한다. c+d=2k 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 k_{1} , k_{2} 에 대하여 c=2k_{1} , d=2k_{2} 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 k_{3} , k_{4} 에 대하여 c=2k_{3}+1 , d=2k_{4}+1 인 경우이다. (1) c=2k_{1} , d=2k_{2} 인 경우: 2a+2b+c+d=2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 (a ,\: b ,\: c ,\: d) 의 개수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (2) c=2k_{3}+1 , d=2k_{4}+1 인 경우: 2a+2b+c+d=2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 (a ,\: b ,\: c ,\: d) 의 개수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (1), (2)에 의하여 2a+2b+c+d=2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 (a ,\: b ,\: c ,\: d) 의 개수 a_{n} 은 a_{n}=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}+\boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 자연수 m 에 대하여 \displaystyle\sum_{n=1}^{m}\boxed{\quad\text{(나)}\quad}=\\_{m+3}C_{4} 이므로 \displaystyle\sum_{n=1}^{8}a_{n}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 r 라 할 때, f(6)+g(5)+r 의 값은? ① 893 ② 918 ③ 943 ④ 968 ⑤ 993