(2018년 시행) 2019학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (나형) 18번 풀이

그림과 같이 \overline{\text{A}_{1}\text{B}_{1}}=1 , \overline{\text{A}_{1}\text{D}_{1}}=2 인 직사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 이 있다. 선분 \text{A}_{1}\text{D}_{1} 위의 \overline{\text{B}_{1}\text{C}_{1}}- \overline {\text{B}_{1}\text{E}_{1}} , \overline{\text{C}_{1}\text{B}_{1}}=\overline{\text{C}_{1}\text{F}_{1}} 인 두 점 \text{E}_{1} , \text{F}_{1} 에 대하여 중심이 \text{B}_{1} 인 부채꼴 \text{B}_{1}\text{E}_{1}\text{C}_{1} 과 중심이 \text{C}_{1} 인 부채꼴 \text{C}_{1}\text{F}_{1}\text{B}_{1} 을 각각 직사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 내부에 그리고, 선분 \text{B}_{1}\text{E}_{1} 과 선분 \text{C}_{1}\text{F}_{1} 의 교점을 \text{G}_{1} 이라 하자. 두 선분 \text{G}_{1}\text{F}_{1} , \text{G}_{1}\text{B}_{1} 과 호 \text{F}_{1}\text{B}_{1} 로 둘러싸인 부분과 두 선분 \text{G}_{1}\text{E}_{1} , \text{G}_{1}\text{C}_{1} 과 호 \text{E}_{1}\text{C}_{1} 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{B}_{1}\text{G}_{1} 위의 점 \text{A}_{2} , 선분 \text{C}_{1}\text{G}_{1} 위의 점 \text{D}_{2} 와 선분 \text{B}_{1}\text{C}_{1} 위의 두 점 \text{B}_{2} , \text{C}_{2} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} :\overline { \text{A}_{2}\text{D}_{2}}=1:2 인 직사각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2} 를 그리고, 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2} 내부에 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{3\sqrt{3}\pi-7}{9} ② \dfrac{4\sqrt{3}\pi-12}{9} ③ \dfrac{3\sqrt{3}\pi-5}{9} ④ \dfrac{4\sqrt{3}\pi-10}{9} ⑤ \dfrac{4\sqrt{3}\pi-8}{9}