(2018년 시행) 2019학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (나형) 20번 풀이

자연수 n 에 대하여 2a + 2b + c + d = 2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 ( a, \: b, \: c, \: d) 의 개수를 a _{n} 이라 하자. 다음은 \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { 8 } a_ { n } 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 a , b , c , d 가 2a + 2b + c + d = 2n 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 k 에 대하여 c + d = 2k 이어야 한다. c + d = 2k 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 k_ { 1 } , k _{2} 에 대하여 c = 2k_ { 1 } , d = 2k_ { 2 } 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 k _{3} , k _{4} 에 대하여 c = 2k_ { 3 } + 1 , d = 2k_ { 4 } + 1 인 경우이다. (1) c = 2k_ { 1 } , d = 2k_ { 2 } 인 경우: 2a + 2b + c + d = 2n 은 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 ( a, \: b, \: c, \: d) 의 개수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (2) c = 2k_ { 3 } + 1 , d = 2k_ { 4 } + 1 인 경우: 2a + 2b + c + d = 2n 은 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 ( a, \: b, \: c, \: d) 의 개수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (1), (2)에 의하여 2a + 2b + c + d = 2n 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 ( a, \: b, \: c, \: d ) 의 개수 a_ { n } 은 a_ { n } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} + \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 자연수 m 에 대하여 \displaystyle \sum _{n = 1} ^{m} \fbox{\quad\text{(나)}\quad} = \\_{m + 3} \text{C}_ { 4 } 이므로 \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { 8 } a_ { n } = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n) , g ( n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 r 라 할 때, f ( 6 ) + g ( 5 ) + r 의 값은? ① 893 ② 918 ③ 943 ④ 968 ⑤ 993