2018년 고3 7월 모의고사 (가형) 18번 풀이

서로 같은 흰 공 4 개와 서로 같은 검은 공 3 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 꺼낸 순서대로 1 부터 7 까지의 번호를 부여한다. 4 개의 흰 공에 부여된 번호 중 두 번째로 작은 번호를 확률변수 X 라 할 때, 다음은 E(X) 를 구하는 과정이다. 공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 N 이라 하면 N 은 서로 같은 흰 공 4 개와 서로 같은 검은 공 3 개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 N= \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 2 , 3 , 4 , 5 이다. (ⅰ) X=2 일 때, 번호 2 가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개, 번호 2 가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 3 개를 나열하는 경우의 수는 1\times\dfrac{5 !}{2 !\times 3!} 이므로 P(X=2)=\dfrac{10}{N} (ⅱ) X=3 일 때, 번호 3 이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개와 검은 공 1 개, 번호 3 이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 2 개를 나열하는 경우의 수는 2 !\times\dfrac{4 !}{2 !\times 2!} 이므로 P(X=3)=\dfrac{12}{N} (ⅲ) X=4 일 때, 번호 4 가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개와 검은 공 2 개, 번호 4 가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 1 개를 나열하는 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이므로 P(X=4)=\dfrac{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{N} (ⅳ) X=5 일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 \begin{aligned}&P(X=5)\\&=1-\{P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\}\end{aligned} 따라서 E(X)=\displaystyle\sum_{k=2}^{5}\{k\times P(X=k)\}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, a+b+5c 의 값은? ① 56 ② 58 ③ 60 ④ 62 ⑤ 64