2018년 고3 7월 모의고사 (가형) 30번 풀이

ab < 0 인 상수 a , b 에 대하여 함수 f ( x ) 는 f ( x ) = ( ax + b ) e ^ { - \frac { x } { 2 } } 이고 함수 g ( x ) 는 g ( x ) =\displaystyle \int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) dt 이다. 실수 k \:( k > 0 ) 에 대하여 부등식 g ( x ) - k \ge xf ( x ) 를 만족시키는 양의 실수 x 가 존재할 때, 이 x 의 값 중 최솟값을 h ( k ) 라 하자. 함수 g ( x ) 와 h ( k ) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 g ( x ) 는 극댓값 \alpha 를 갖고 h ( \alpha ) = 2 이다. (나) h ( k ) 의 값이 존재하는 k 의 최댓값은 8e ^ { - 2 } 이다. 100 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:\lim \limits_{ x \to \infty } f ( x ) = 0\right)