2018년 고3 7월 모의고사 (나형) 18번 풀이

서로 같은 흰 공 4 개와 서로 같은 검은 공 3 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 꺼낸 순서대로 1 부터 7 까지의 번호를 부여한다. 4 개의 흰 공에 부여된 번호 중 두 번째로 작은 번호를 확률변수 X 라 할 때, 다음은 \text{E} ( X ) 를 구하는 과정이다. 공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 N 이라 하면 N 은 서로 같은 흰 공 4 개와 서로 같은 검은 공 3 개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 N =\boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이고, 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 2 , 3 , 4 , 5 이다. (ⅰ) X = 2 일 때, 번호 2 가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개, 번호 2 가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 3 개를 나열하는 경우의 수는 1 \times \dfrac { 5 ! } { 2 ! \times 3 ! } 이므로 \text{P} ( X = 2 ) = \dfrac { 10 } { N } (ⅱ) X = 3 일 때, 번호 3 이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개와 검은 공 1 개, 번호 3 이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 2 개를 나열하는 경우의 수는 2 ! \times\dfrac {4!} {2! \times 2!} 이므로 \text{P} ( X = 3 ) = \dfrac { 12 } { N } (ⅲ) X = 4 일 때, 번호 4 가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1 개와 검은 공 2 개, 번호 4 가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2 개와 검은 공 1 개를 나열하는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이므로 \text{P} ( X = 4 ) = \dfrac { \boxed{\quad\text{(나)}\quad}} { N } (ⅳ) X = 5 일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 \begin{aligned} \text{P}(X=5)= & 1-\{\text{P}(X=2) \\ & +\text{P}(X=3)+\text{P}(X=4)\} \end{aligned} 따라서 \text{E} ( X ) = \displaystyle\sum _{ k = 2 } ^ { 5 } \{ k \times \text{P} ( X = k ) \} =\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, a + b + 5c 의 값은? ① 56 ② 58 ③ 60 ④ 62 ⑤ 64