2018년 고3 7월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 있다. 세 선분 \text{B}_{1}\text{C}_{1} , \text{C}_{1}\text{A}_{1} , \text{A}_{1}\text{B}_{1} 의 중점을 각각 \text{A}_{2} , \text{B}_{2} , \text{C}_{2} 라 하자. 선분 \text{C}_{1}\text{C}_{2} 를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 \text{B}_{2}\text{A}_{2} 의 연장선이 만나는 점을 \text{P}_{1} , 선분 \text{B}_{1}\text{B}_{2} 를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 \text{C}_{2}\text{A}_{2} 의 연장선이 만나는 점을 \text{Q}_{1} 이라 하자. 두 선분 \text{C}_{2}\text{A}_{2} , \text{A}_{2}\text{P}_{1} 과 호 \text{P}_{1}\text{C}_{2} 로 둘러싸인 영역과 두 선분 \text{B}_{2}\text{A}_{2} , \text{A}_{2}\text{Q}_{1} 과 호 \text{Q}_{1}\text{B}_{2} 로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 정삼각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2} 의 세 변 \text{B}_{2}\text{C}_{2} , \text{C}_{2}\text{A}_{2} , \text{A}_{2}\text{B}_{2} 의 중점을 각각 \text{A}_{3} , \text{B}_{3} , \text{C}_{3} 이라 하자. 선분 \text{C}_{2}\text{C}_{3} 을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 \text{B}_{3}\text{A}_{3} 의 연장선이 만나는 점을 \text{P}_{2} , 선분 \text{B}_{2}\text{B}_{3} 을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 \text{C}_{3}\text{A}_{3} 의 연장선이 만나는 점을 \text{Q}_{2} 라 하자. 두 선분 \text{C}_{3}\text{A}_{3} , \text{A}_{3}\text{P}_{2} 와 호 \text{P}_{2}\text{C}_{3} 으로 둘러싸인 영역과 두 선분 \text{B}_{3}\text{A}_{3} , \text{A}_{3}\text{Q}_{2} 와 호 \text{Q}_{2}\text{B}_{3} 으로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{6\pi - 4 \sqrt {3}}{3} ② \dfrac{6\pi - 2 \sqrt {3}}{3} ③ \dfrac{6\pi - \sqrt {3}}{3} ④ \dfrac{8\pi - 4 \sqrt {3}}{3} ⑤ \dfrac{8\pi - 2 \sqrt {3}}{3}