2018년 고2 9월 모의고사 (가형) 18번 풀이

다음은 \lim\limits _{n\to \infty}\dfrac{1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots+n^{4}}{(1+2+3+\cdots+n)\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}\right)} 의 값을 구하는 과정의 일부이다. S_{n}=\dfrac{1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots+n^{4}}{(1+2+3+\cdots+n)\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}\right)} 이라 하면 \begin{aligned}S_{n}&=\dfrac{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times\displaystyle\sum^{n}k^{4}}{n^{2}(n+1)^{2}(2n+1)}\\&=\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times\dfrac{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{(n+1)^{2}(2n+1)}\times\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^{4}}{n^{n}}\end{aligned} 이다. 따라서 \lim\limits _{n\to \infty}S_{n}=6\lim\limits _{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\dfrac{k}{n}\right)^{4}\dfrac{1}{n}\right\} 이므로 정적분의 정의에 의하여 \lim\limits _{n\to \infty}S_{n}=6\displaystyle\int _{0}^{1}f(x)dx=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q 라 하고 (나)에 알맞은 식을 g(n) 이라 할 때, g(2)+\dfrac{p}{q} 의 값은? ① 18 ② 21 ③ 24 ④ 27 ⑤ 30