2018년 고2 9월 모의고사 (가형) 20번 풀이

림과 같이 길이가 8 인 선분 \text{AB} _{ 1 } 을 지름으로 하는 반원을 그리고 호 \text{B} _{ 1 } \text{A} 위에 \angle \text{B} _{ 1 } \text{AC} _{ 1 } = 30\degree 가 되도록 점 \text{C}_{1} 을 잡는다. 선분 \text{AC}_{ 1 } 을 지름으로 하는 반원이 선분 \text{AB} _{ 1 } 과 만나는 점 중 점 \text{A} 가 아닌 점을 \text{B} _{ 2 } 라 할 때, 선분 \text{B} _{ 2 } \text{B} _{ 1 } , 호 \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 과 호 \text{C} _{ 1 } \text{B} _{ 2 } 로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{AB} _{ 2 } 를 지름으로 하는 반원을 그리고 호 \text{B} _{ 2 } \text{A} 위에 \angle \text{B} _{ 2 } \text{AC} _{ 2 } = 30\degree 가 되도록 점 \text{C} _{ 2 } 를 잡는다. 선분 \text{AC} _{ 2 } 를 지름으로 하는 반원이 선분 \text{AB} _{ 2 } 와 만나는 점 중 점 \text{A} 가 아닌 점을 \text{B}_{3} 이라 할 때, 선분 \text{B} _{ 3 } \text{B} _{ 2 } , 호 \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } 와 호 \text{C} _{ 2 } \text{B} _{ 3 } 으로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 2 } 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림을 R_{n} 이라 할 때, 그림 R _{ n } 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 하자. \lim\limits _{ n \to \infty } S _{ n } = \dfrac { q } { p } \left( 2 \pi + 3 \sqrt { 3 } \right) 일 때, p + q 의 값은? \left(\text{단},\:p\text{와}\:q\text{는 서로소인 자연수이다.}\right) contenthub figure ① 31 ② 33 ③ 35 ④ 37 ⑤ 39