2018년 고2 9월 모의고사 (나형) 18번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \begin{aligned}&1\cdot 2n+3\cdot(2n-2)+5\cdot(2n-4)+\cdots+(2n-1)\cdot 2\\&=\dfrac{n(n+1) (2n+1)}{3}\end{aligned} 이 성립함을 보이는 과정이다. \begin{aligned}&1\cdot 2n+3\cdot(2n-2)+5\cdot(2n-4)+\cdots+(2n-1)\cdot 2\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\{2n - (2k-2)\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)\{2(n+1)-2k\} \\&=2(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)-2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2k^{2}-k\right)\\& =2(n+1)\{n(n+1) - n\}\\&\qquad\qquad-2\left\{\dfrac{n(n+1) (2n+1)}{\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}-\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}\\&=2(n+1)n^{2}-\dfrac{1}{3}n(n+1)\left(\fbox{\quad\text{(다)}\quad}\right)\\&=\dfrac{n(n+1) (2n+1)}{3}\end{aligned} 이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(n) 이라 하고, (나)에 알맞은 수를 a 라 할 때, f(a)\times g(a) 의 값은? ① 50 ② 55 ③ 60 ④ 65 ⑤ 70