2018년 고2 9월 모의고사 (나형) 20번 풀이

그림과 같이 \overline { \text{AB} } = 1 , \overline { \text{BC} } = 2 인 직사각형 \text{ABCD} 에서 선분 \text{BC} 의 중점을 \text{M} 이라 하자. 중심이 \text{B} , 반지름의 길이가 \overline { \text{BM} } 이고 중심각의 크기가 90 \degree 인 부채꼴 \text{BMA} 를 그리고, 중심이 \text{C} , 반지름의 길이가 \overline { \text{CD} } 이고 중심각의 크기가 90 \degree 인 부채꼴 \text{CDM} 을 그린다. 두 부채꼴의 호 \text{MA} , 호 \text{DM} 과 선분 \text{AD} 에 모두 접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 1 } 이라 하자. 그림 R _{ 1 } 에서 새로 그려진 각 부채꼴의 내부에 두 변의 길이의 비가 1 : 2 인 직사각형을 긴 변이 선분 \text{BC} 위에 놓이면서 각 부채꼴에 내접하도록 각각 그리고, 각 직사각형에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 2 } 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림을 R _{ n } 이라 할 때, 그림 R _{ n } 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 하자. 이 때, \lim \limits _{ n \to \infty } S _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 1 } { 12 } \pi ② \dfrac { 5 } { 48 } \pi ③ \dfrac { 1 } { 8 } \pi ④ \dfrac { 7 } { 48 } \pi ⑤ \dfrac { 1 } { 6 } \pi