2018년 고3 10월 모의고사 (가형) 19번 풀이

다음은 4 이상의 자연수 n 에 대하여 등식 a \times b \times c \times d=2^{n} \times 3^{n} 을 만족시키는 2 이상의 자연수 a , b , c , d 의 순서쌍 (a,\: b,\: c,\: d) 중에서 a+b+c+d 가 짝수가 되도록 하는 모든 순서쌍의 개수를 구하는 과정이다. a=2^{x_{1}}\times 3^{y_{1}} , b=2^{x_{2}}\times 3^{y_{2}} , c=2^{x_{3}}\times 3^{y_{3}} , d=2^{x_{4}}\times 3^{y_{4}} 이라 하면 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=n , y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=n \left(\text{단},\:i=1,\:2,\:3,\:4\text{에 대하여}\:x_{i},\:y_{i}\text{는 음이 아닌 정수}\right) 이다. 이때 a+b+c+d 가 짝수이므로 a , b , c , d 가 모두 짝수이거나 a , b , c , d 중에서 2 개만 짝수이다. (ⅰ) a , b , c , d 가 모두 짝수인 경우 x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} 가 모두 자연수이고 y_{1} , y_{2} , y_{3} , y_{4} 는 음이 아닌 정수이므로 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3},\:x_{4},\:y_{1},\:y_{2},\:y_{3},\:y_{4}\right) 의 개수는 \\_{4}\text{H}_{\tiny\boxed{\quad\text{(가)}\quad}}\times\\_{4}\text{H}_{n}\quad\cdots\cdots ㉠ (ⅱ) a , b , c , d 중에서 2 개만 짝수인 경우 x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} 중에서 자연수가 2 개이고 0 이 2 개이므로 순서쌍 \left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3},\:x_{4}\right) 의 개수는 \\_{4}\text{C}_{2}\times\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 이때 a , b , c , d 중 홀수인 두 수는 1 이 될 수 없으므로 순서쌍 \left(y_{1},\:y_{2},\:y_{3},\:y_{4}\right) 의 개수는 \\_{4}\text{H}_{\tiny\boxed{\quad\text{(다)}\quad}} 이다. 따라서 순서쌍 \left(x_{1},\: x_{2}, \: x_{3}, \: x_{4}, \: y_{1},\: y_{2},\: y_{3}, \: y_{4}\right) 의 개수는 \\_{4}\text{C}_{2}\times\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times\\_{4}\text{H}_{\tiny\boxed{\quad\text{(다)}\quad}}\quad\cdots\cdots ㉡ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 ㉠+㉡ 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) , h(n) 이라 할 때, f(6)+g(7)+h(8) 의 값은? ① 13 ② 14 ③ 15 ④ 16 ⑤ 17