2018년 고3 10월 모의고사 (나형) 18번 풀이

주머니에 1 이 적힌 공이 n 개, 2 가 적힌 공이 ( n - 1 ) 개, 3 이 적힌 공이 ( n - 2 ) 개, \cdots , n 이 적힌 공이 1 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적힌 수를 확률변수 X 라 하자. 다음은 \text{E} ( X ) \ge 5 가 되도록 하는 자연수 n 의 최솟값을 구하는 과정이다. n 이하의 자연수 k 에 대하여 k 가 적힌 공의 개수는 ( n - k + 1 ) 이므로 P ( X = k ) = \dfrac{2 ( n - k + 1 )}{\boxed{\quad\text{(가)}\quad}}\: ( k = 1 ,\: 2 ,\: 3 ,\:\cdots,\: n ) 확률변수 X 의 평균은 \begin{aligned}\text{E} ( X ) &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n}kP ( X = k ) \\ & =\dfrac{2}{\boxed{\quad\text{(가)}\quad}}\times\sum_{k=1}^{n}k(n-k+1)\\&=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\end{aligned} \text{E} ( X ) \ge 5 에서 n 의 최솟값은 \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 a 라 할 때 , f ( 7 ) + g ( 7 ) + a 의 값은? ① 72 ② 74 ③ 76 ④ 78 ⑤ 80