2018년 고3 10월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 2 인 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 이 있다. 세 변 \text{A}_{1} \text{B}_{1} , \text{B}_{1} \text{C}_{1} , \text{D}_{1} \text{A}_{1} 의 중점을 각각 \text{E}_{1} , \text{F}_{1} , \text{G}_{1} 이라 하자. 선분 \text{G}_{1}\text{F}_{1} 을 지름으로 하고 선분 \text{D} _{1}\text{C}_{1} 에 접하는 반원의 호 \text{G}_{1} \text{F}_{1} 과 두 선분 \text{G}_{1}\text{E}_{1} , \text{E}_{1} \text{F}_{1} 로 둘러싸인 도형의 외부와 정사각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1} 의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{G}_{1}\text{E}_{1} 위의 점 \text{A}_{2} , 선분 \text{E}_{1}\text{F}_{1} 위의 점 \text{B}_{2} 와 호 \text{G}_{1} \text{F}_{1} 위의 두 점 \text{C}_{2} , \text{D}_{2} 를 꼭짓점으로 하고 선분 \text{A} _{2}\text{B}_{2} 가 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 과 평행한 정사각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 를 그린다. 정사각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 그린 도형의 외부와 정사각형 \text{A}_{2} \text{B}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{25(6-\pi)}{42} ② \dfrac{25(6-\pi)}{32} ③ \dfrac{25(6-\pi)}{24} ④ \dfrac{25(6-\pi)}{21} ⑤ \dfrac{5(6-\pi)}{4}