2018년 고2 11월 모의고사 (가형) 19번 풀이

양수 k 에 대하여 함수 f ( x ) = 2kx ^ { 3 } - 3 ( 3k + 1 ) x ^ { 2 } + 18x - 2 가 닫힌 구간 [ 0,\:3 ] 에서 최댓값 12 를 가질 때, k 의 값을 구하는 과정이다. 함수 f ( x ) 에서 f ^ { \prime} ( x ) = 6kx ^ { 2 } - 6 ( 3k + 1 ) x + 18 = 6 ( kx - 1 ) ( x - 3 ) k = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 인 경우를 제외하고 함수 f ( x ) 는 실수 전체의 집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 (ⅰ) 0 < k \le \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 일 때, 0 < x < 3 에서 f ^ { \prime } ( x ) > 0 이므로 함수 f ( x ) 는 증가한다. 따라서 닫힌 구간 [ 0,\:3 ] 에서 함수 f ( x ) 의 최댓값은 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러나 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} = 12 를 만족하는 k 의 값은 0 < k \le \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 에 존재하지 않는다. (ⅱ) k > \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 일 때, 닫힌 구간 [ 0,\:3 ] 에서 함수 f ( x ) 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. \def\arraystretch{2.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\cdots&\dfrac{1}{k}&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&+&+&0&-&0\\\hline f(x)&&\nearrow&\text{극대}&\searrow&\\\hline\end{array} 따라서 함수 f ( x ) 는 x = \dfrac { 1 } { k } 에서 극대이면서 최대이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 f ( x ) 가 닫힌 구간 [ 0,\:3 ] 에서 최댓값 12 를 가질 때, k = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b 라 하고, (나)에 알맞은 식을 g ( k ) 라 할 때, g ( a ) 의 값은? ① 24 ② 26 ③ 28 ④ 30 ⑤ 32