(2018년 시행) 2019학년도 수능 (가형) 30번 풀이

최고차항의 계수가 6\pi 인 삼차함수 f(x) 에 대하여 함수 g(x)=\dfrac{1}{2+\sin (f(x))} 이 x=\alpha 에서 극대 또는 극소이고, \alpha \ge 0 인 모든 \alpha 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \alpha_{1} , \alpha_{2} , \alpha_{3} , \alpha_{4} , \alpha_{5} , \cdots 라 할 때, g(x) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \alpha_{1}=0 이고 g\left(\alpha_{1}\right)=\dfrac{2}{5} 이다. (나) \dfrac{1}{g\left(\alpha_{5}\right)}=\dfrac{1}{g\left(\alpha_{2}\right)}+\dfrac{1}{2} g^{\prime}\left(-\dfrac{1}{2}\right)=a\pi 라 할 때, a^{2} 의 값을 구하시오. \left(\text{단}, \:0 < f(0) <\dfrac{\pi}{2}\right)