(2018년 시행) 2019학년도 수능 (나형) 16번 풀이

그림과 같이 \text{OA}_{1} = 4 , \text{OB}_{1} = 4\sqrt{3} 인 직각삼각형 \text{OA}_{1}\text{B}_{1} 이 있다. 중심이 \text{O} 이고 반지름의 길이가 \overline{\text{OA}_{1}} 인 원이 선분 \text{OB}_{1} 과 만나는 점을 \text{B}_{2} 라 하자. 삼각형 \text{OA}_{1}\text{B}_{1} 의 내부와 부채꼴 \text{OA}_{1}\text{B}_{2} 의 내부에서 공통된 부분을 제외한 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 점 \text{B}_{2} 를 지나고 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 에 평행한 직선이 선분 \text{OA}_{1} 과 만나는 점을 \text{A}_{2} , 중심이 \text{O} 이고 반지름의 길이가 \overline{\text{OA}_{2}} 인 원이 선분 \text{OB}_{2} 와 만나는 점을 \text{B}_{3} 이라 하자. 삼각형 \text{OA}_{2}\text{B}_{2} 의 내부와 부채꼴 \text{OA}_{2}\text{B}_{3} 의 내부에서 공통된 부분을 제외한 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠 되어있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{3}{2}\pi ② \dfrac{5}{3}\pi ③ \dfrac{11}{6}\pi ④ 2\pi ⑤ \dfrac{13}{6}\pi