(2018년 시행) 2019학년도 수능 (나형) 19번 풀이

다음은 집합 X=\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6\} 과 함수 f: X \to X 에 대하여 합성함수 f \circ f 의 치역의 원소의 개수가 5 인 함수 f 의 개수를 구하는 과정이다. 함수 f 와 함수 f \circ f 의 치역을 각각 A 와 B 라 하자. n(A)=6 이면 함수 f 는 일대일 대응이고, 함수 f \circ f 도 일대일 대응이므로 n(B)=6 이다. 또한 n(A) \le 4 이면 B \subset A 이므로 n(B) \le 4 이다. 그러므로 n(A)=5 , 즉 B=A 인 경우만 생각하면 된다. (ⅰ) n(A)=5 인 X 의 부분집합 A 를 선택하는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 A 에 대하여, X 의 원소 중 A 에 속하지 않는 원소를 k 라 하자. n(A)=5 이므로 집합 A 에서 f(k) 를 선택하는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (ⅲ) (ⅰ)에서 선택한 A=\left\{a_{1},\:a_{2},\:a_{3},\:a_{4},\:a_{5}\right\} 와 (ⅱ)에서 선택한 f(k) 에 대하여, f(k) \in A 이며 A=B 이므로 \begin{aligned}&A\\&=\left\{f\left(a_{1}\right),\:f\left(a_{2}\right),\:f\left(a_{3}\right),\:f\left(a_{4}\right),\:f\left(a_{5}\right)\right\}\quad\cdots\: (\ast)\end{aligned} 이다. (\ast) 을 만족시키는 경우의 수는 집합 A 에서 집합 A 로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 f 의 개수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad}\times \boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 131 ② 136 ③ 141 ④ 146 ⑤ 151