(2018년 시행) 2019학년도 수능 (나형) 30번 풀이

최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 f(x) 와 최고차항의 계수가 -1 인 이차함수 g(x) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 y=f(x) 위의 점 (0,\:0) 에서의 접선과 곡선 y=g(x) 위의 점 (2,\:0) 에서의 접선은 모두 x 축이다. (나) 점 (2,\:0) 에서 곡선 y=f(x) 에 그은 접선의 개수는 2 이다. (다) 방정식 f(x)=g(x) 는 오직 하나의 실근을 가진다. x > 0 인 모든 실수 x 에 대하여 g(x) \le kx-2 \le f(x) 를 만족시키는 실수 k 의 최댓값과 최솟값을 각각 \alpha , \beta 라 할 때, \alpha-\beta=a+b\sqrt{2} 이다. a^{2}+b^{2} 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:a,\:b\text{는 유리수이다.}\right)