2019년 고3 3월 모의고사 (가형) 18번 풀이

네 개의 비어 있는 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 가 있다. 각각의 상자에 최대 5 개의 공을 넣을 수 있을 때, 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에 n\:(1\le n \le 20) 개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수를 f(n) 이라 하자. 다음은 f(15)+f(14)+f(13) 의 값을 구하는 과정이다. \begin{aligned}&\left(\text{단, 공은 구별하지 않고, 공을 하나도 넣지 않은 상자가}\right.\\& \left.\text{있을 수 있다.}\right)\end{aligned} 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에 n 개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 5 개씩 모두 20 개가 들어 있는 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에서 총 20-n 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다. (ⅰ) n=15 인 경우 공이 5 개씩 모두 20 개가 들어 있는 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에서 총 5 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로 f(15)=\boxed{\quad(가)\quad} (ⅱ) n=14 인 경우 공이 5 개씩 모두 20 개가 들어 있는 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에서 총 6 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로 f(14)=\\_{4}\text{H}_{6}-\boxed{\quad(나)\quad} (ⅲ) n=13 인 경우 공이 5 개씩 모두 20 개가 들어 있는 네 상자 \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} 에서 총 7 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로 f(13)=\boxed{\quad(다)\quad} (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 \begin{aligned}&f(15)+f(14)+f(13)\\&=\boxed{\quad(가)\quad}+\left(\\_{4}\text{H}_{6}+\boxed{\quad(나)\quad}\right)+\boxed{\quad(다)\quad}\end{aligned} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 164 ② 168 ③ 172 ④ 176 ⑤ 180