2019년 고3 3월 모의고사 (나형) 18번 풀이

자연수 n 에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선 y=-(x-n) (x-n-2) 가 제 1 사분면에서 접할 때, 접점의 x 좌표를 a_{n} , 직선의 기울기를 b_{n} 이라 하자. 다음은 \lim\limits _{n\to \infty}a_{n}b_{n} 의 값을 구하는 과정이다. 원점을 지나고 기울기가 b_{n} 인 직선의 방정식은 y=b_{n}x 이다. 이 직선이 곡선 y=-(x-n) (x-n-2) 에 접하므로 이차방정식 b_{n}x=-(x-n) (x-n-2) 의 근 x=a_{n} 은 중근이다. 그러므로 이차방정식 x^{2}+\left\{b_{n}-2(n+1)\right\}x+n(n+2)=0 에서 이차식 x^{2}+\left\{b_{n}-2(n+1)\right\}x+n(n+2) 는 완전제곱식으로 나타내어진다. 그런데 a_{n} > 0 이므로 x^{2}+\left\{b_{n}-2(n+1)\right\}x+n(n+2)=\left\{x-\sqrt{n(n+2)}\right\}^{2} 에서 a_{n}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} , b_{n}=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 \lim\limits _{n\to \infty}a_{n}b_{n}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 값을 \alpha 라 할 때, 2f(\alpha )+g(\alpha ) 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5