2019년 고3 3월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 중심이 \text{O}_{1} , 반지름의 길이가 2 이고 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{O}_{1}\text{A}_{1}\text{B}_{1} 에서 두 선분 \text{O}_{1}\text{A}_{1} , \text{O}_{1}\text{B}_{1} 위에 두 점 \text{M}_{1} , \text{O}_{2} 를 각각 \overline{\text{O}_{1}\text{M}_{1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overline{\text{O}_{1}\text{A}_{1}} , \overline{\text{O}_{1}\text{O}_{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overline{\text{O}_{1}\text{B}_{1}} 이 되도록 정하자. 두 점 \text{M}_{1} , \text{O}_{2} 와 호 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 위의 두 점 \text{C}_{1} , \text{A}_{2} 를 꼭짓점으로 하는 직사각형 \text{O}_{2}\text{M}_{1}\text{C}_{1}\text{A}_{2} 를 그리고, 직사각형 \text{O}_{2}\text{M}_{1}\text{C}_{1}\text{A}_{2} 와 삼각형 \text{O}_{1}\text{C}_{1}\text{A}_{2} 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 중심이 \text{O}_{2} , 반지름의 길이가 \overline{\text{O}_{2}\text{A}_{2}} 이고 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{O}_{2}\text{A}_{2}\text{B}_{2} 를 점 \text{B}_{2} 가 부채꼴 \text{O}_{1}\text{A}_{1}\text{B}_{1} 의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 \text{O}_{2}\text{A}_{2} , \text{O}_{2}\text{B}_{2} 위에 두 점 \text{M}_{2} , \text{O}_{3} 을 각각 \overline{\text{O}_{2}\text{M}_{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overline{\text{O}_{2}\text{A}_{2}} , \overline{\text{O}_{2}\text{O}_{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overline{\text{O}_{2}\text{B}_{2}} 가 되도록 정하자. 두 점 \text{M}_{2} , \text{O}_{3} 과 호 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 위의 두 점 \text{C}_{2} , \text{A}_{3} 을 꼭짓점으로 하는 직사각형 \text{O}_{3}\text{M}_{2}\text{C}_{2}\text{A}_{3} 을 그리고, 직사각형 \text{O}_{3}\text{M}_{2}\text{C}_{2}\text{A}_{3} 과 삼각형 \text{O}_{2}\text{C}_{2}\text{A}_{3} 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{7}{6} ② \dfrac{4}{3} ③ \dfrac{3}{2} ④ \dfrac{5}{3} ⑤ \dfrac{11}{6}