2019년 고3 4월 모의고사 (나형) 18번 풀이

\overline{\text{B}_{1}\text{C}_{1}}=8 이고 \angle \text{B}_{1}\text{A}_{1}\text{C}_{1}=120\degree 인 이등변삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 있다. 그림과 같이 중심이 선분 \text{B}_{1}\text{C}_{1} 위에 있고 직선 \text{A}_{1}\text{B}_{1} 과 직선 \text{A}_{1}\text{C}_{1} 에 동시에 접하는 원 O_{1} 을 그리고 이등변삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 의 내부와 원 O_{1} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림 을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 원 O_{1} 과 선분 \text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 만나는 점을 각각 \text{B}_{2} , \text{C}_{2} 라 할 때, 삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 내부의 점 \text{A}_{2} 를 삼각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2} 가 \angle \text{B}_{2}\text{A}_{2}\text{C}_{2}=120\degree 인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 중심이 선분 \text{B}_{2}\text{C}_{2} 위에 있고 직선 \text{A}_{2}\text{B}_{2} 와 직선 \text{A}_{2}\text{C}_{2} 에 동시에 접하는 원 O_{2} 를 그리고 이등변삼각형 \text{A}_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2} 의 내부와 원 O_{2} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{32}{3}\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}\pi ② \dfrac{32}{3}\sqrt{3}-\dfrac{4}{3}\pi ③ \dfrac{64}{9}\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}\pi ④ \dfrac{64}{9}\sqrt{3}-\dfrac{5}{3}\pi ⑤ \dfrac{64}{9}\sqrt{3}-\dfrac{4}{3}\pi