2019년 고3 4월 모의고사 (나형) 20번 풀이

다음은 40 이하의 서로 다른 두 자연수 a , b 의 최대공약수가 3 인 a , b 의 모든 순서쌍 (a,\: b) 의 개수를 구하는 과정이다. 40 이하의 서로 다른 두 자연수 a , b 의 최대공약수가 3 이므로 서로소인 두 자연수 m , n 에 대하여 a=3m , b=3n 이라 하면 m 과 n 은 13 이하의 자연수이다. 순서쌍 (a,\: b) 를 선택하는 경우는 '(ⅰ) 서로 다른 두 자연수 m , n 을 선택하는 경우'에서 '(ⅱ) 서로 다른 두 자연수 m 과 n 이 서로소가 아닌 경우'를 제외하면 된다. (ⅰ)의 경우: 13 개의 자연수에서 서로 다른 두 자연수 m , n 을 선택하는 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. (ⅱ)의 경우: m 과 n 이 2 의 배수인 경우의 수는 \\_{6}\text{P}_{2} 이고, m 과 n 이 3 의 배수인 경우의 수는 \\_{4}\text{P}_{2} 이고, m 과 n 이 5 의 배수인 경우의 수는 \\_{2}\text{P}_{2} 이다. 이 때, m 과 n 이 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 의 배수인 경우가 중복되므로 서로 다른 두 자연수 m 과 n 이 서로소가 아닌 경우의 수는 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 40 이하의 서로 다른 두 자연수 a , b 의 최대공약수가 3 인 a , b 의 모든 순서쌍 (a,\: b) 의 개수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad}-\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 192 ② 196 ③ 200 ④ 204 ⑤ 208