2019년 고2 6월 모의고사 (가형) 16번 풀이

다음은 0 < \theta < 2 \pi 에서 3 + 2\sin ^ { 2 } \theta + \dfrac { 1 } { 3 - 2\cos ^ { 2 } \theta } 의 최솟값을 구하는 과정이다. 3 + 2\sin ^ { 2 } \theta = t 로 놓으면 3 + 2\sin ^ { 2 } \theta + \dfrac { 1 } { 3 - 2\cos ^ { 2 } \theta } = t + \dfrac { 1 } {\boxed{\quad\text{(가)}\quad}} 이다. 0 < \theta < 2 \pi 에서 t \ge 3 이므로 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} > 0 이다. t + \dfrac { 1 } {\boxed{\quad\text{(가)}\quad}} = t - 2 + \dfrac { 1 } { \boxed{\quad\text{(가)}\quad}} + 2 \ge 4 이다. \left(\text{단, 등호는}\:t =\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\text{일 때 성립한다.}\right) 따라서 3 + 2\sin ^ { 2 } \theta + \dfrac { 1 } { 3 - 2\cos ^ { 2 } \theta } 은 \theta = \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 에서 최솟값 4 를 갖는다. 위의 (가)에 알맞은 식을 f ( t ) , (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 p , q 라 할 때, f ( p ) + \tan ^ { 2 } \left( q + \dfrac { \pi } { 3 } \right) 의 값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8