(2019년 시행) 2020학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (나형) 19번 풀이

1 부터 8 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 8 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그림과 같은 8 개의 자리에 각각 한 장씩 임의로 놓을 때, 8 이하의 자연수 k 에 대하여 k 번째 자리에 놓인 카드에 적힌 수가 k 이하인 사건을 A_{k} 라 하자. contenthub figure 다음은 두 자연수 m , n\:(1 \le m < n \le 8 ) 에 대하여 두 사건 A_{m} 과 A_{n} 이 서로 독립이 되도록 하는 m , n 의 모든 순서쌍 ( m ,\: n ) 의 개수를 구하는 과정이다. A_{k} 는 k 번째 자리에 k 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, k 번째 자리를 제외한 7 개의 자리에 나머지 7 장의 카드가 놓여 있는 사건이므로 \text{P} \left( A_{k} \right) =\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. A_{m} \cap A_{n}\: ( m < n ) 은 m 번째 자리에 m 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, n 번째 자리에 n 이하의 자연수 중 m 번째 자리에 놓인 카드에 적힌 수가 아닌 자연수가 적힌 카드가 놓여 있고, m 번째와 n 번째 자리를 제외한 6 개의 자리에 나머지 6 장의 카드가 놓여 있는 사건이므로 \text{P}\left(A_{m} \cap A_{n}\right)=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 한편, 두 사건 A_{m} 과 A_{n} 이 서로 독립이기 위해서는 \text{P}\left(A_{m} \cap A_{n}\right)=\text{P}\left(A_{m}\right)\text{P}\left(A_{n}\right) 을 만족시켜야 한다. 따라서 두 사건 A_{m} 과 A_{n} 이 서로 독립이 되도록 하는 m , n 의 모든 순서쌍 ( m ,\: n ) 의 개수는 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가)에 알맞은 식에 k = 4 를 대입한 값을 p , (나)에 알맞은 식에 m = 3 , n = 5 를 대입한 값을 q , (다)에 알맞은 수를 r 라 할 때, p \times q \times r 의 값은? ① \dfrac{3}{8} ② \dfrac{1}{2} ③ \dfrac{5}{8} ④ \dfrac{3}{4} ⑤ \dfrac{7}{8}