2019년 고3 7월 모의고사 (가형) 18번 풀이

앞면에 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 가 하나씩 적혀 있는 5 장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 3 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 1 , 2 , 3 을 차례로 적는다. 이 3 장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수 X 라 하자. 예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로 4 , 1 , 3 인 경우는 X = 2 이다. 다음은 확률변수 X 의 평균 E ( X) 를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.) 상자에 들어 있는 5 장의 카드 중에서 임의로 3 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 1 , 2 , 3 을 차례로 적는 경우의 수는 \\_ { 5 } \text{P}_ { 3 } = 60 이다. 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 0 , 1 , 2 , 3 이므로 (ⅰ) X = 0 인 사건은 3 장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P} ( X = 0 ) = \dfrac { 1 } { 60 } (ⅱ) X = 1 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 1 장이고, 나머지 2 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P} ( X = 1) = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} (ⅲ) X = 2 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 2 장이고, 나머지 1 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P} ( X = 2) = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} (ⅳ) X = 3 인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 \text{P} ( X = 3 ) = 1 - \left( \dfrac { 1 } { 60 } + \fbox{\quad\text{(가)}\quad} + \fbox{\quad\text{(나)}\quad} \right) 이다. 따라서 \text{E} ( X ) = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \{ k \times \text{P} ( X = k ) \} = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, 10a + 20b + 5c 의 값은? ① 20 ② 24 ③ 28 ④ 32 ⑤ 36