2019년 고3 7월 모의고사 (나형) 18번 풀이

앞면에 숫자 1 , 2 , 3 , 4 , 5 가 하나씩 적혀 있는 5 장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 3 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 1 , 2 , 3 을 차례로 적는다. 이 3 장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수 X 라 하자. 예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로 4 , 1 , 3 인 경우는 X=2 이다. 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 를 구하는 과정이다. \left(\text{단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀}\right.\\\left.\text{있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.}\right ) 상자에 들어 있는 5 장의 카드 중에서 임의로 3 장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 1 , 2 , 3 을 차례로 적는 경우의 수는 \\_{5}\text{P}_{3}=60 이다. 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 0 , 1 , 2 , 3 이므로 (ⅰ) X=0 인 사건은 3 장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P}(X=0)=\dfrac{1}{60} (ⅱ) X=1 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 1 장이고, 나머지 2 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P}(X=1)=\boxed{\quad\text{(가)}\quad} (ⅲ) X=2 인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 2 장이고, 나머지 1 장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 \text{P}(X=2)=\boxed{\quad\text{(나)}\quad} (ⅳ) X=3 인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 \text{P}(X=3)=1-\left(\dfrac{1}{60}+\boxed{\quad\text{(가)}\quad}+\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\right) 이다. 따라서 \text{E}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\{k\times \text{P}(X=k)\}=\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a , b , c 라 할 때, 10a+20b+5c 의 값은? ① 20 ② 24 ③ 28 ④ 32 ⑤ 36