2019년 고3 7월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 3 인 정삼각형 \text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1} 이 있다. 세 선분 \text{A}_{1}\text{B}_{1} , \text{B}_{1}\text{C}_{1} , \text{C}_{1}\text{A}_{1} 을 1:2 로 내분하는 점을 각각 \text{A}_{2} , \text{B}_{2} , \text{C}_{2} 라 하자. 선분 \text{B}_{2}\text{C}_{1} 을 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 \text{B}_{2}\text{C}_{2} 를 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 세 선분 \text{A}_{2}\text{B}_{2} , \text{B}_{2}\text{C}_{2} , \text{C}_{2}\text{A}_{2} 를 1:2 로 내분하는 점을 각각 \text{A}_{3} , \text{B}_{3} , \text{C}_{3} 이라 하자. 선분 \text{B}_{3}\text{C}_{2} 를 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 \text{B}_{3}\text{C}_{3} 을 지름으로 하는 반원의 외부와 공통부분인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{N} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{11\pi + 8\sqrt{3}}{32} ② \dfrac{11\pi + 9\sqrt{3}}{32} ③ \dfrac{3\pi + 2\sqrt{3}}{8} ④ \dfrac{12\pi +9\sqrt{3}}{32} ⑤ \dfrac{3\pi + 3\sqrt{3}}{8}