2019년 고2 9월 모의고사 (가형) 18번 풀이

일반항이 a _{ n } = n ^ { 2 } 인 수열 \left\{ a _{ n } \right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S _{ n } 이라 하자. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 ( n + 1 ) S _{ n } - \displaystyle\sum_{ k = 1 } ^ { n } S _{ k } =\sum_{ k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } \qquad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때, \left(\text{좌변}\right)= 2S _{ 1 } - S _{ 1 } = 1 , \left(\text{우변}\right)= 1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = m 일 때 (\ast) 이 성립한다고 가정하면 ( m + 1 ) S _{ m } -\displaystyle\sum_{ k = 1 } ^ { m } S _{ k } = \sum_{ k = 1 } ^ { m } k ^ { 3 } 이다. n = m + 1 일 때 (\ast) 이 성립함을 보이자. \begin{aligned}& ( m + 2 ) S _{ m + 1 } - \displaystyle\sum_{ k = 1 } ^ { m + 1 } S _{ k } \\&=\boxed{\text{(가)}} S _{ m + 1 } - \sum_{ k = 1 } ^ { m } S _{ k } \\&=\boxed{\text{(가)}}S _{ m } + \boxed{\text{(나)}} - \sum_{ k = 1 } ^ { m } S _{ k } \\&=\sum_{ k = 1 } ^ { m + 1 } k ^ { 3 } \end{aligned} 이다. 따라서 n = m + 1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. \text{( i )} , \text{( ii )} 에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 n 에 대하여 성립 한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( m ) , g ( m ) 이라 할 때, f ( 2 ) + g ( 1 ) 의 값은? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11