2019년 고2 9월 모의고사 (나형) 18번 풀이

일반항이 a_{n}= n^{2} 인 수열 \left\{ a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 ( n + 1 ) S_{n} -\displaystyle\sum_{k=1}^{n}S_{k}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}\quad\cdots\cdots(\ast) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때, \left(\text{좌변}\right)= 2S_{1} - S_{1} = 1 , \left(\text{우변}\right) = 1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = m 일 때 ( \ast) 이 성립한다고 가정하면 ( m + 1 ) S_{m} -\displaystyle\sum_{k=1}^{m}S_{k} =\sum_{k=1}^{m}k^{3} 이다. n = m + 1 일 때 (\ast) 이 성립함을 보이자. \begin{aligned}&( m + 2 ) S_{m+ 1} -\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}S_{ k} \\&=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}S_{m+1}-\sum_{k=1}^{m}S_{k} \\&=\boxed{\quad\text{(가)}\quad}S_{m}+\boxed{\quad\text{(나)}\quad}-\sum_{k=1}^{m}S_{k} \\&=\sum_{k=1}^{m+1}k^{3} \end{aligned} 이다. 따라서 n = m + 1 일 때도 ( \ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 n 에 대하여 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( m ) , g ( m ) 이라 할 때 , f ( 2 ) + g ( 1 ) 의 값은? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11