(2019년 시행) 2020학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (나형) 18번 풀이

그림과 같이 중심이 \text{O} , 반지름의 길이가 2 이고 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{OAB} 가 있다. 선분 \text{OA} 의 중점을 \text{C} , 선분 \text{OB} 의 중점을 \text{D} 라 하자. 점 \text{C} 를 지나고 선분 \text{OB} 와 평행한 직선이 호 \text{AB} 와 만나는 점을 \text{E} , 점 \text{D} 를 지나고 선분 \text{OA} 와 평행한 직선이 호 \text{AB} 와 만나는 점을 \text{F} 라 하자. 선분 \text{CE} 와 선분 \text{DF} 가 만나는 점을 \text{G} , 선분 \text{OE} 와 선분 \text{DG} 가 만나는 점을 \text{H} , 선분 \text{OF} 와 선분 \text{CG} 가 만나는 점을 \text{I} 라 하자. 사각형 \text{OIGH} 를 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 중심이 \text{C} , 반지름의 길이가 \overline { \text{CI} } , 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{CJI} 와 중심이 \text{D} , 반지름의 길이가 \overline {\text{ DH } } , 중심각의 크기가 90\degree 인 부채꼴 \text{DHK} 를 그린다. 두 부채꼴 \text{CJI} , \text{DHK} 에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S _{ n } 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{5} ② \dfrac{7\left(3-\sqrt{3}\right)}{15} ③ \dfrac{8\left(3-\sqrt{3}\right)}{15} ④ \dfrac{3\left(3-\sqrt{3}\right)}{5} ⑤ \dfrac{2\left(3-\sqrt{3}\right)}{3}