2019년 고3 10월 모의고사 (나형) 19번 풀이

그림과 같이 \overline{\text{AB}}=2 , \overline{\text{BC}}=4 이고 \angle \text{ABC}=60\degree 인 삼각형 \text{ABC} 가 있다. 사각형 \text{D}_{1}\text{BE}_{1}\text{F}_{1} 이 마름모가 되도록 세 선분 \text{AB} , \text{BC} , \text{CA} 위에 각각 점 \text{D}_{1} , \text{E}_{1} , \text{F}_{1} 을 잡고, 마름모 \text{D}_{1}\text{BE}_{1}\text{F}_{1} 의 내부와 중심이 \text{B} 인 부채꼴 \text{BE}_{1}\text{D}_{1} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R _{1} 이라 하자. 그림 R _{1} 에서 사각형 \text{D}_{2}\text{E}_{1}\text{E}_{2}\text{F}_{2} 가 마름모가 되도록 세 선분 \text{F}_{1}\text{E}_{1} , \text{E}_{1}\text{C} , \text{CF}_{1} 위에 각각 점 \text{D}_{2} , \text{E}_{2} , \text{F} _{2} 를 잡고, 마름모 \text{D}_{2}\text{E}_{1}\text{E}_{2}\text{F}_{2} 의 내부와 중심이 \text{E} _{1} 인 부채꼴 \text{E}_{1}\text{E}_{2}\text{D}_{2} 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{4\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{15} ② \dfrac{4\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{9} ③ \dfrac{8\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{15} ④ \dfrac{2\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{3} ⑤ \dfrac{8\left(3\sqrt{3}-\pi\right)}{9}